Sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x)) nasıl kanıtlarsınız?

Cevap:

Bazı eşlenik çarpım yapın, trig kimliklerini kullanın ve basitleştirin. Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Pisagor Kimliğini hatırlayın # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Her iki tarafa bölün # Cos ^ 2x #:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan rengi ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #

Bu önemli kimliği kullanacağız.

Bu ifadeye odaklanalım:

# Secx + 1 #

Bunun eşdeğer olduğuna dikkat edin. # (Secx + 1) / 1 #. Üst ve alt kısımları çarpın # Secx-1 # (bu teknik eşlenik çarpma olarak bilinir):

# (Secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sn ^ 2x-1) / (secx-1) #

itibaren # Kahve renkli ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #bunu görüyoruz # Kahve renkli ^ 2x = sek ^ 2x-1 #. Bu nedenle, numaratör ile değiştirebiliriz. # Tan ^ 2x #:

# (Kahve renkli ^ 2x) / (secx-1) #

Bizim sorunumuz şimdi okuyor:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Ortak bir paydamız var, bu yüzden sol taraftaki kesirleri ekleyebiliriz:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-kahve renkli ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Teğetler iptal edildi:

# / (Secx-1) = cosx / (1-cosx) ((^ ten rengi 2x) + (açık kahverengi ^ 2x) 1-iptal et) #

Bizi bırakarak:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Dan beri # Secx = 1 / cosx #, bunu şu şekilde yeniden yazabiliriz:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Paydaya kesirler ekleyerek görüyoruz:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# - = cosx / (1-cosx) #> 1 / ((cosx) / (cosx) 1 / cosx-)

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Özelliği kullanarak # 1 / (a / b) b / a # =, sahibiz:

# Cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

Ve bu kanıtı tamamlar.

# LHS = (secx + 1) + (1-kahve renkli ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((Secx + 1) (secx-1) ^ 2x + 1-kahve renkli) / (secx-1) #

# = (Sn ^ 2x + 1 + 1-kahve renkli ^ 2x) / (secx-1) #

# = Cosx / cosx * ((sek ^ 2x-kahve renkli ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (kırmızı) ("çekme", sek ^ 2x-kahve renkli ^ 2x = 1) #

# = Cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (kırmızı) ("koyarak", cosxsecx = 1) #

# = Cosx / (1-cosx) = RHS #