Dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 diferansiyel denkleminin çözümü nedir?

Cevap:

Genel Çözüm:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Açıklama:

Sahibiz:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Benzer değişkenler için terimler toplayabiliriz:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Ayrılabilir bir Birinci Mertebeden Adi Lineer Olmayan Diferensiyel Denklem Denklemi, "değişkenleri ayır" almak:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Her iki integral de standart fonksiyonlara aittir, bu yüzden bu bilgiyi doğrudan entegre etmek için kullanabiliriz:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Ve kolayca yeniden düzenleyebiliriz • y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Genel Çözümlere Lider:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Cevap:

• y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Açıklama:

Bu ayrılabilir bir diferansiyel denklemdir, yani şu şekilde yazılabilir:

# Dy / dx * F (y) = g (x) #

Her iki tarafı da entegre ederek çözülebilir:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

Bizim durumumuzda önce integrali doğru biçime ayırmamız gerekir. Bunu iki tarafa da bölerek yapabiliriz. #, (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Şimdi her iki tarafı da birleştirebiliriz:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Sol el integralini yerine koyarak çözebiliriz. # U = Y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Tekrar değiştirme (ve sabitleri birleştirme) şunları verir:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

İki tarafı da çarp • y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3), (y-1) #

Her iki tarafa bölün # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

• y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #