Parabolün (5,3) 'te ve y = -12' nin direktrik noktası ile denklemi nedir?

Cevap:

• y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Açıklama:

Bir parabolün tanımı, paraboldeki tüm noktaların her zaman odak ve directrix ile aynı mesafeye sahip olduğunu belirtir.

İzin verebiliriz # P = (x, y) #parabolün genel bir noktasını temsil edecek, biz izin verebiliriz # F = (5,3) # odağı temsil eder ve # D = (x, -12) # Directrix'teki en yakın noktayı temsil eder. # X # çünkü directrix üzerindeki en yakın nokta her zaman düz aşağıdır.

Şimdi bu noktalarla bir denklem kurabiliriz. Mesafeleri çözmek için mesafe formülünü kullanacağız:

# G = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Önce arasındaki mesafeyi bulmak için bunu noktalarımıza uygulayabiliriz. # P # ve # F #:

#d_ (PF) sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) # =

Sonra aradaki mesafeyi hesaplayacağız. # P # ve # D #:

# #D_ (PD) sqrt (- - (12)) ^ 2 (x-x) ^ 2 + (y) =

Bu mesafeler birbirine eşit olması gerektiğinden, onları bir denkleme koyabiliriz:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Noktadan beri # P # genel olarak formda ve parabol üzerindeki herhangi bir noktayı temsil edebilir, eğer çözebilirsek • y # Denklemde, bize parabol üzerindeki tüm puanları verecek bir denklemle bırakılacak veya başka bir deyişle parabolün denklemi olacak.

İlk önce her iki tarafı da kareleriz:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

#, (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Daha sonra genişletebiliriz:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Her şeyi sola koyar ve benzer terimler toplarsak, şunu elde ederiz:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

• y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

• y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Bu bizim parabolün denklemidir.