Aşağıdaki kimliği nasıl doğrularsınız?

Cevap:

Birkaç trig kimliği ve birçok basitleştirici kullanın. Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Gibi şeylerle uğraşırken # Cos3x #, bir birimin trigonometrik işlevlerine basitleştirmeye yardımcı olur # X #; yani bir şey gibi # Cosx # veya # Cos ^ 3x #. Bunu başarmak için toplam kuralını kosinüs için kullanabiliriz:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Yani, beri # Cos3x = (2 x + x) # cos, sahibiz:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Şimdi değiştirebiliriz # Cos3x # yukarıdaki ifadeyle:

# (Cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (SiNx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Bu daha büyük kısmı iki küçük parçaya bölebiliriz:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (SiNx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Kosinüslerin nasıl iptal edildiğine dikkat edin:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) iptal (cosx)) / iptal (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (SiNx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Şimdi ekle # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # denklemin sol tarafına (bu, ekleme ile aynı şeydir) #0#). Bunun arkasındaki sebep bir dakika içinde belli olacak:

# Cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Terimleri yeniden düzenle:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2X (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Pisagor Kimliğini Kullan # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # ve birleştirmek # Sin ^ 2x #Parantez içinde s:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Gördüğümüz küçük ekleme hilemizdir. # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # Pisagor Kimliğini kullanmamıza ve # Sin ^ 2x # terimleri.

Ve işte:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Quod erat demonstrandum