N en küçük tamsayı nedir? = m cdot 10 ^ (2016)?

Cevap:

# N = 8075 #

Açıklama:

let #v_p (k) # çokluğu olmak # P # faktörü olarak # K. Yani, #v_p (k) # en büyük tam sayı # P ^ (V_P (k)) | k #.

Gözlemler:

• Herhangi # ZZ'de ^ + ve # P # asal, biz #v_p (k!) = toplam_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Bu indüksiyonla kolayca kanıtlanabilir)

• Herhangi bir tamsayı için #k> 1 #, sahibiz # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Bu sezgiseldir, güçlerinin katları olarak. #2# eşdeğer güçlerin katlarından daha sık görülür. #5#ve benzer bir argüman kullanarak titizlikle kanıtlanmış olabilir)

• İçin #j, ZZ ^ 'da k, sahibiz #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # herhangi bir baş bölen için # P # arasında # J #.

Devam edersek hedefimiz en az tam sayıyı bulmaktır. # N # öyle ki ^ 2016 10. |! N #. Gibi # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, sonra üçüncü gözlemle, sadece şunu doğrulamamız gerekir: # 2016 <= v_2 (n!) # ve # 2016 <= v_5 (n!) #. İkinci gözlem, ikincisinin birinciyi ima ettiği anlamına gelir. Bu nedenle, en küçük tam sayıyı bulmak yeterlidir. # N # öyle ki # v_5 (n!) = toplam_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Bulmak # N # hesaplamamıza izin verecek bir gözlem yapacağız # V_5 (5 ^ k!) #.

Arasında #1# ve 5. ^ k #, var 5. ^ k / 5 # katları #5#her biri en az katkı sağlayan #1# toplamına #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5: (i) #. Ayrıca orada 5. ^ k / 25 # katları #25#her biri ek katkıda bulunur #1# İlk sayımdan sonra toplamı Tek bir katına ulaşana kadar bu şekilde ilerleyebiliriz. 5. ^ k # (hangisi 5. ^ k # kendisi), hangi katkıda bulunmuştur # K toplamı Toplamı bu şekilde hesaplarken,

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Böylece onu buluyoruz # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Sonunda bulacağız # N # öyle ki # v_5 (n!) = 2016 #. Hesaplarsak # V_5 (5 ^ k!) # birkaç değer için # K, bulduk

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Gibi #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # iki "blok" ihtiyacı #5^5#, ikisi #5^4#, dördü #5^3#, ve üç #5^2#. Böylece alırız

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Bir bilgisayar bunu hızla doğrulayabilir #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Böylece #10^2016 | 8075!#, ve benzeri #5|8075!# çokluk ile #2016# ve #5|8075#daha az değerin yeterli olmayacağı açıktır.