Varsa, f (x) = xsin (1 / x) 'deki asimptot (lar) ve delik (ler) nedir?

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Belli ki bir delik var. #, X = 0 #tarafından ayrıldığından beri #0# imkansız.

Fonksiyonu çizebiliriz:

grafik {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Başka asimptot veya delik yoktur.

Cevap:

#f (x) # konumunda bir delik var (çıkarılabilir süreksizlik) #, X = 0 #.

Aynı zamanda yatay bir asimptote sahiptir. • y = 1 #.

Düşey veya eğimli asimptotları yoktur.

Açıklama:

Verilen:

#f (x) = x günah (1 / x) #

Özelliklerini kullanacağım #sin (t) #, yani:

• #abs (günah t) <= 1 "" # Tüm gerçek değerler için # T #.

• #lim_ (t-> 0) günah (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # tüm değerleri için # T #.

İlk not #f (x) # eşit bir işlevdir:

#f (-x) = (-x) günah (1 / (- x)) = (-x) (- günah (1 / x)) = x günah (1 / x) = f (x) #

Bulduk:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x))) <= abs (x) #

Yani:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x))) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Bu olduğundan #0#, öyle #lim_ (x-> 0+) x günah (1 / x) #

Ayrıca, beri #f (x) # hatta:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x günah (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x günah (1 / x) = 0 #

Bunu not et #f (0) # undefined, çünkü tarafından bölünmeyi içerir. #0#, ancak hem sol hem de sağ sınırlar var ve hemfikir olmak #, X = 0 #, böylece orada bir delik (çıkarılabilir süreksizlik) vardır.

Ayrıca şunları da bulabilirsiniz:

#lim_ (x-> oo) x günah (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) günah (t) / t = 1 #

Benzer şekilde:

#lim_ (x -> - oo) x günah (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) günah (t) / t = 1 #

Yani #f (x) # yatay asimptot var • y = 1 #

grafik {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}