90'ın karekökü nedir?

Cevap:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Açıklama:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # bir yerde irrasyonel bir sayıdır #sqrt (81) = 9 # ve #sqrt (100) = 10 #.

Aslında, beri #90 = 9 * 10# biçimindedir # n (n + 1) # formun düzenli sürekli kesir genişlemesine sahiptir # N, çubuk (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+)))…)))))) #

Rasyonel yaklaşımları bulmanın eğlenceli bir yolu, doğrusal bir tekrarlama ile tanımlanan bir tamsayı dizisi kullanmaktır.

Sıfırlarla ikinci dereceden denklemi düşünün. 19. + 2sqrt (90) # ve # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (beyaz) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (beyaz) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (beyaz) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Yani:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Bir dizi türetmek için bunu kullanın:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Bu dizinin ilk birkaç terimi:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Ardışık terimler arasındaki oran 19. + 2sqrt (90) #

Dolayısıyla:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 # 9.48683298051 #