1 / (x + 1)> 3 / (x-2) eşitsizliğini nasıl çözersiniz?

Cevap:

#x <- 5/2 renk (beyaz) (xx) # veya #color (beyaz) (xx) -1 <x <2 #

Açıklama:

Her şeyden önce, eşitsizliğinizin sadece paydalarınız sıfıra eşit değilse tanımlandığını unutmayın:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Şimdi, bir sonraki adımınız kesirlerden “kurtulmak” olacaktır. Bu eşitsizliğin her iki tarafını da çarparak yapılırsa yapılabilir. #, X + 1 # ve # X-2 #.

Ancak, bir eşitsizliği negatif bir sayıyla çarpmanız durumunda eşitsizlik işaretini çevirmeniz gerektiğine dikkat etmeniz gerekir.

=========================================

Farklı vakaları ele alalım:

dava 1: #color (beyaz) (xxx) x> 2 #:

Her ikisi de #x + 1> 0 # ve #x - 2> 0 # ambar. Böylece, olsun:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… hesapla # -3x # ve #+2# iki tarafta da…

# -2x> 5 #

… bölünür #-2# iki tarafta da. Gibi #-2# negatif bir sayıdır, eşitsizlik işaretini çevirmelisiniz …

#x <- 5/2 #

Ancak, yok # X # Bu hem şartı yerine getirir #x> 2 # ve #x <- 5/2 #. Bu nedenle, bu durumda bir çözüm yoktur.

=========================================

durum 2: #color (beyaz) (xxx) -1 <x <2 #:

İşte, #x + 1> 0 # fakat #x - 2 <0 #. Bu nedenle, eşitsizlik işaretini bir kere çevirmeniz gerekir:

#color (beyaz) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (beyaz) (x) -2x <5 #

… bölünür #-2# eşitsizlik tabelasını tekrar çevirin …

#color (beyaz) (xxx) x> -5 / 2 #

Eşitsizlik #x> -5 / 2 # herkes için doğru # X # aralıkta # -1 <x <2 #. Böylece, bu durumda, biz çözüm var # -1 <x <2 #.

=========================================

durum 3: #color (beyaz) (xxx) x <-1 #:

Burada her iki payda negatiftir. Bu nedenle, eşitsizliği her ikisiyle de çarparsanız, eşitsizlik işaretini iki kere çevirmeniz gerekir:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (beyaz) (i) -2x> 5 #

#color (beyaz) (xxi) x <- 5/2 #

Durum olarak #x <-5 / 2 # durumdan daha kısıtlayıcı #x <-1 #bu davanın çözümü #x <- 5/2 #.

=========================================

Toplamda, çözüm

#x <- 5/2 renk (beyaz) (xx) # veya #color (beyaz) (xx) -1 <x <2 #

veya farklı bir gösterim tercih ediyorsanız,

#x içinde (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Cevap:

# - oo, -5/2 -1, 2 #

Açıklama:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

çıkarmadan eşitsizliğin sol tarafına geçmesine izin ver 3. / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Şimdi, bütün eşitsizliği aynı paydaya koyalım. (X + 1) ile çarptığımız bölüm #, (X-2) / (X-2) # (ki bu 1!) ve tersi:

#, (X-2) / ((x + 1), (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1), (x-2))> 0 #

Hile daha önce aynı payda ile eşitsizliğe sahip olmak için yaptık.

# (- 2x-5) / ((x + 1), (x-2))> 0 #.

# (X + 1), (x-2) # inetervalde pozitif değerler veren bir parabole karşılık gelir # -oo, -1 uu 2, + oo # ve aralıktaki negatif değerler #-1, 2#. Payda sıfır verildiğinden x'in -1 veya 2 olamayacağını unutmayın.

İlk durumda (payda pozitif) aşağıdaki eşitsizliği basitleştirebiliriz:

# -2x-5> 0 # ve #x içinde -oo, -1 uu 2, + oo #

hangi verir:

# x <-5/2 # ve #x içinde -oo, -1 uu 2, + oo #.

Yukarıdaki aralıklarla kesişme verir # x <-5/2 #.

İkinci durumda, payda negatiftir, bu nedenle pozitif bir sayı veren sonuç için pay negatif olmalı:

# -2x-5 <0 # ve # x in -1, 2 #

hangi verir

# x> -5/2 #. ve # x in -1, 2 #

Aralıklarla kesişme verir # x in -1, 2 #

Elde ettiğimiz iki vakanın çözümlerine katılmak:

# - oo, -5/2 -1, 2 #