89'un karekökü nedir?

Cevap:

Kare kökü #89# kare verildiğinde verilen sayıdır #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Açıklama:

Dan beri #89# asal #sqrt (89) # basitleştirilemez.

Bir Newton Raphson yöntemi kullanarak yaklaşık değerlendirebilirsiniz.

Aşağıdaki gibi biraz yeniden biçimlendirmeyi seviyorum:

let #n = 89 # karekökünü istediğiniz sayı olabilir.

Seçmek # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # Böylece # P_0 / q_0 # makul bir rasyonel yaklaşımdır. Bu belirli değerleri beri seçtim #89# yaklaşık yarısı #9^2 = 81# ve #10^2 = 100#.

Formülleri kullanarak yineleme:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Bu daha iyi bir rasyonel yaklaşım verecektir.

Yani:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Yani burada durursak, yaklaşık bir değer alırız:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Bir adım daha gidelim:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Bu yüzden bir yaklaşım elde ediyoruz:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Bu Newton Raphson yöntemi hızlı bir şekilde birleşir.

#Beyaz renk)()#

Aslında, oldukça iyi bir basit yaklaşım #sqrt (89) # olduğu #500/53#, dan beri #500^2 = 250000# ve #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Buna bir yineleme adımı uygularsak, daha iyi bir yaklaşım elde ederiz:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#Beyaz renk)()#

dipnot

Pozitif tamsayıların tüm kare kökleri, rasyonel yaklaşımlar vermek için de kullanabileceğiniz sürekli kesir genişlemelerine sahiptir.

Ancak, durumunda #sqrt (89) # devam eden kesir genişlemesi biraz dağınık olduğu için çalışmak çok hoş değil:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3)) + …))))))) #

Yaklaşım #500/53# yukarıda #9; 2, 3, 3, 2#