5'in karekökü nedir?

Kare kökü #5# zaten olduğundan daha basitleştirilmiş baba olamaz, işte burada # Sqrt5 # On ondalık basamak için:

# Sqrt5 ~~ 2,2360679775 … #

Cevap:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # irrasyonel bir sayıdır.

Açıklama:

Tüm pozitif sayılar normal olarak iki kare köke sahiptir, pozitif bir ve aynı boyutta bir negatif. Pozitif (a.k.a. anapara) karekökünü gösteririz. # N # tarafından #sqrt (n) #.

Sayının karekökü # N # bir sayı # X # öyle ki # x ^ 2 = n #. Öyleyse # x ^ 2 = n # ve hatta # (- x) ^ 2 = n #.

Ancak, popüler kullanım "karekökü" nin pozitif olanı ifade etmesidir.

Olumlu bir sayımız olduğunu varsayalım # X # hangi tatmin:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Sonra iki tarafı da çarparak # (2 + x) # Biz alırız:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Sonra çıkarma #2 kere# iki taraftan da alıyoruz:

# X, ^ 2 = 5 #

Yani bulduk:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (beyaz) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))

Bu devam eden kesirin sona ermemesi nedeniyle, şunu söyleyebiliriz #sqrt (5) # sonlandırıcı bir kesir olarak gösterilemez - yani rasyonel bir sayı. Yani #sqrt (5) # irrasyonel bir sayıdan biraz daha küçük #2 1/4 = 9/4#. Daha rasyonel yaklaşımlar için, devam eden kesiri daha fazla terimden sonra sonlandırabilirsiniz.

Örneğin:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Bu devam eden fraksiyonların açılması biraz sıkıcı olabilir, bu yüzden genellikle tekrarlı olarak tanımlanmış bir tamsayı dizisinin sınırlayıcı oranı olan farklı bir yöntem kullanmayı tercih ederim.

Bir diziyi şu şekilde tanımlayın:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

İlk birkaç terim:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Terimler arasındaki oran 2. + sqrt (5) #.

Yani buluyoruz:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~ 2.236068 #