Eğer bir ^ 3 + b ^ 3 = 8 ve bir ^ 2 + b ^ 2 = 4 ise (a + b) değeri nedir?

Cevap:

Toplam için iki olası değer vardır, # A + b = 2 # (için # A = 2 # ve # B = 0 #) veya # A + b = -4 # (için # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - {2} sql.

Açıklama:

İki bilinmeyen var, toplamı ve ürünü # Bir # ve # B # öyleyse bırak #x = a + b # ve #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

İki bilinmeyenli iki denklem, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Buna depresif bir kübik denir ve bu kuadratik formül gibi oldukça kolay bir kapalı form çözümü vardır. Ancak dokunmak yerine, sadece küçük sayıları denemenin onurlu yöntemine göre bir kök tahmin edelim. Görürüz #, X = 2 # çok çalışır #, (X-2) # bir faktördür.

# x ^ 3 - 12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Şimdi daha fazla faktör yapabiliriz

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Yani toplam için iki olası değer vardır, # A + b = 2 # ve # A + b = -4. #

İlk cevap gerçek çözüme karşılık geliyor. # a = 2, b = 0 # ve simetri ile # a = 0, b = 2 #. İkinci cevap, bir çift karmaşık konjugatın toplamına karşılık gelir. Onlar konum # a, b = -2 pm sqrt {2} #. Bu çözümü kontrol edebilir misiniz?

Cevap:

# (a + b) = 2 ya da a + b = -4 #

Açıklama:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => B = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Şimdi,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + b), (a ^ 2-AB + b ^ 2) = 8 #

# => (A + b) (4-ab) = 8 #

# => (A + b): {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (A + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Let

# (A + b) X # =

Yani, # => X (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => X (12-x ^ 2) 16 # =

# => X ^ 3-12x + 16 = 0 #

Bunu gözlemlemek #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (X-2) # bir faktördür.

Şimdi, # X ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (+ 16 8x) #,

# = X ^ 2, (x-2) + 2x, (x-2) -8, (x-2) #, # = (X-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (X-2) (x + 4), (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2 veya x = -4 #.

#:. a + b = 2 veya, a + b = -4 #.

Burada grafik verilmiştir.

Değeri #color (red) ((a + b) = 2 veya -4

Umarım yardımcı olur…

Teşekkür ederim…