Parabolün (-15, -19) 'a odaklanmış ve y = -8 yönelimli bir denklemi nedir?

Cevap:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2-27 / 2 #

Açıklama:

Directrix yatay bir çizgi olduğundan parabolün dikey olarak yönlendirildiğini biliyoruz (yukarı ya da aşağı açılır). Odağın y koordinatı (-19), direklemenin (-8) altında olduğundan, parabolün açıldığını biliyoruz. Bu tip parabol için denklemin tepe formu şöyledir:

#y = 1 / (4f) (x - s) ^ 2 + k "1" #

H, vertex'in x koordinatı ise, k, vertex'in koordinatını alır, ve f, f uzaklıkları, directrix ile fokus arasındaki işaretli mesafenin yarısıdır:

#f = (y _ ("odak") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Köşenin y koordinatı, k, f artı directrix'in y koordinatıdır:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Köşenin x koordinatı, h, odağın x koordinatı ile aynıdır:

#h = -15 #

Bu değerleri denklem 1 'e atmak:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Biraz basitleştirme:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2-27 / 2 #

Cevap:

# X, ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Açıklama:

Parabol, bir noktaya yönlendirilir, böylece directix denilen bir çizgi ile odak denilen bir noktaya olan uzaklığı eşit olur.

İki nokta arasındaki mesafenin biliyoruz # (X_1, y_1) # ve # X_2, y_2) # tarafından verilir #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # ve

nokta arasındaki mesafe # (X_1, y_1) # ve çizgi + C = 0 tarafından # # ax + olduğu # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Şimdi bir noktanın mesafesi # (X, y) # odak noktasından parabol üzerinde #(-15,-19)# olduğu #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

ve directrix'e olan uzaklığı • y = -8 # veya • y + 8 = 0 # olduğu # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Dolayısıyla, parabol denklemi olacaktır.

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # veya

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # veya

# X, ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # veya

# X, ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

grafik {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}