378 bölen ile en küçük tamsayı N olsun. N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d ise, NN'deki {a, b, c, d} değeri nedir?

Cevap:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Açıklama:

Bir numara verildi # N # asal çarpanlara ayırma ile #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #her bölen # N # biçimindedir # P_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # nerede #beta_i, {0, 1, …, alpha_i} #. Olduğu gibi # Alpha_i + 1 # her biri için seçenekler # Beta_i #, bölenlerin sayısı # N # tarafından verilir

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Gibi #, N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, bölenlerin sayısı # K # tarafından verilir # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Böylece amacımız bulmak # (a, b, c, d) # öyle ki yukarıdaki ürün tutar ve 2. ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # az. En aza indirdiğimiz gibi, bu noktadan itibaren #a> = b> = C> = d # (durum böyle olmasaydı, aynı sayıda bölenle daha az sonuç almak için üsleri değiştirebilirdik).

Bunu belirterek # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #olası davaları dikkate alabiliriz. #378# dört tamsayının ürünü olarak yazılmıştır # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Bunların hangisinin en az sonucu ürettiğini görmek için inceleyebiliriz. # K #.

Biçim: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (kırmızı) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Başka davalarda olacağı gibi burada durabiliriz. #k_i> = 27 #veren # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, zaten bizim en iyi durumumuzdan daha büyük.

Yukarıdaki çalışmayla, o zaman, # (a, b, c, d) # hangi bir asgari üretir # K # ile #378# bölenler # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #veren #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #