Adil bir çift taraflı zar iki kez sekiz kez atılır. 7'den büyük bir puanın beş kereden fazla olmama ihtimali var mı?

Cevap:

#~=0.9391#

Açıklama:

Sorunun kendisine girmeden önce, onu çözme yönteminden bahsedelim.

Örneğin, üç kez adil bir parayı çevirmenin olası tüm sonuçlarını hesaba katmak istediğimi varsayalım. HHH, TTT, TTH ve HHT'yi alabilirim.

H olasılığı #1/2# ve T olasılığı da #1/2#.

HHH ve TTT için 1. / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # her.

TTH ve HHT için, aynı zamanda 1. / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # her biri, ancak her sonucu alabilmemin 3 yolu olduğundan, sonuç # 3xx1 / 8 = 3/8 # her.

Bu sonuçları topladığımda, alıyorum #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - Bu, artık hesaplanan para çevirme işleminin olası tüm sonuçlarına sahip olduğum anlamına geliyor.

Dikkat edersem # H # olmak # P # ve bu nedenle # T # olmak # ~ P #ve ayrıca Pascal Üçgeni'nden bir çizgimizin olduğunu fark ettim. #(1,3,3,1)#, bir form ayarladık:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (s) ^ k ((~ p) ^ (N-k)) #

ve bu örnekte, şunu elde ederiz:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Şimdi problemi yapabiliriz.

Rulo sayısını 8 olarak veriyoruz, yani # N = 8 #.

# P # 7'den büyük toplamdır. 7'den büyük toplam alma olasılığını bulmak için, olası silindirlere bir göz atalım:

# ((Renk (beyaz) (0), ul1, UL2, UL3, ul4, UL5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

36 olasılıktan 15'i 36 olandan daha büyük bir miktar verir ve olasılık #15/36=5/12#.

İle # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Tüm olasılıkları yazabiliriz - 8 rulonun 7'den büyük toplam olması, 8 rulonun toplamı 7 veya daha az olması:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ + 5 C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

ancak yalnızca 5 kez veya daha az olmak üzere 7 toplamdan daha büyük olan terimleri toplamayla ilgileniyoruz:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ + 5 C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Cevap:

#0.93906#

Açıklama:

# "Öyleyse P sonuç> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "8 atışta k kez gerçekleşir" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

#"(Binom dağılımı)"#

# "ile" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinasyonlar)" #

#"Yani, "#

#P "8 atışta en fazla 5 kez gerçekleşir" #

# = 1 - P "8 atışta 6, 7 veya 8 kez gerçekleşir" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#